Настоящий текст появился по нескольким причинам. Во-первых, подавляющее большинство не представляет, чем занимается современная математика. Теория групп - это, конечно, далеко не вся современная математика, а лишь малая ее часть, но она находится на одном из самых высоких уровней абстракции, что делает ее неплохим примером раздела современной математики.

Во-вторых, такой естественный и простой (для объяснения) объект, как группы, практически незнаком большинству ученых. Действительно, что может быть естественнее и привычнее для человека, чем понятие симметрии. Мы с самого рождения вольно или невольно ищем в окружающих предметах симметрию, и чем симметричнее предмет, тем совершеннее он нам кажется. Древние греки считали шар идеальной фигурой, именно из-за того, что у шара очень много симметрий. Взгляните на любую известную картину, и вы увидите там явную ось (а иногда и не одну) симметрии. Любое музыкальное произведение развивается по циклу, постоянно возвращаясь к исходной теме, т. е. и там тоже есть симметрия. Даже такой, всем известный символ, как крест, почитаемый во многих религиях, кажется нам красивым из-за большого количества симметрий: его можно и крутить, и отражать относительно любой из его частей. Но превратите крест в свастику, и у вас сразу возникнет неуютное ощущение, ведь большую часть симметрий креста вы уничтожили. Таким образом, именно симметрия определяет, насколько совершенным кажется нам тот или иной объект, и теория групп, как наука, изучающая симметрии, может без преувеличения называться наукой о совершенстве.

И в-третьих, я вдохновлен примером таких замечательных ученых и популяризаторов науки, как Сергей Попов и Игорь Иванов, научно-популярные статьи которых я с интересом читаю.

Поскольку текст изначально задумывался доступным для читателя, знающего математику в объеме школьной программы, некоторые специальные части текста (на самом деле, подавляющая его часть), содержащие более трудный для понимания материал, чем обычно дается в школьном курсе алгебры, будут начинаться знаком и заканчиваться знаком (это не означает, что для понимания такого текста требуется что-то большее, чем школьная математика, трудности будут возникать логического характера). Дело в том, что теория групп находится на одном из самых высоких уровней абстракции в современной математике и потому группы иногда состоят из элементов, которые весьма сложно представить неискушенному читателю.

Теория групп

Группа (математика)

Теория групп

Основные понятия

Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа (полу-)Прямое произведение

Топологические

Группа Ли

Ортогональная группа O(n)

Специальная унитарная группа SU(n)

G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Группа Лоренца

Группа Пуанкаре

См. также «Физический портал»

Теория групп - раздел абстрактной алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами , и их свойства.

Список определений, относящихся к теории групп, вы можете найти в статье Словарь терминов теории групп.

История

У теории групп три исторических корня: теория алгебраических уравнений, теория чисел и геометрия. Математики, стоящие у истоков теории групп, - это Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж, Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа. Галуа был первым математиком, связавшим теорию групп с другой ветвью абстрактной алгебры - теорией полей, разработав теорию, ныне называемую теорией Галуа.

Одной из первых задач, приведших к возникновению теории групп, была задача получения уравнения степени m , которое имело бы корнями m корней данного уравнения степени n (m < n ). Эту задачу в простых случаях рассмотрел Худде (1659 г.). В 1740 г. Сондерсон заметил, что нахождение квадратичных множителей биквадратных выражений сводится к решению уравнения 6 степени, а Ле Сёр (1748 г.) и Вейринг (с 1762 по 1782 гг.) развили эту идею.

Общую основу для теории уравнений, строящуюся на теории перестановок, в 1770-1771 гг. нашёл Лагранж, и на этой почве в дальнейшем выросла теория подстановок. Он обнаружил, что корни всех резольвент, с которыми он сталкивался, являются рациональными функциями от корней соответствующих уравнений.

Теория групп

Чтобы изучить свойства этих функций, он разработал «исчисление сочетаний» (Calcul des Combinaisons ). Современная ему работа Вандермонда (1770 г.) также предвосхищала развитие теории групп.

Паоло Руффини в 1799 г. предложил доказательство неразрешимости уравнений пятой и высших степеней в радикалах. Для доказательства он использовал понятия теории групп, хоть и называл их другими именами. Руффини также опубликовал письмо, написанное ему Аббати, лейтмотивом которого была теория групп.

Галуа обнаружил, что если у алгебраического уравнения несколько корней, то всегда существует группа перестановок этих корней такая, что 1) всякая функция, инвариантная относительно подстановок группы, рациональна и, наоборот, 2) всякая рациональная функция от корней инвариантна относительно перестановок группы. Свои первые труды по теории групп он опубликовал в 1829 г., в возрасте 18 лет, но они остались практически незамеченными, пока в 1846 г. не было издано собрание его сочинений.

Артур Кэли и Огюстен Луи Коши стали одними из первых математиков, оценивших важность теории групп. Эти учёные также доказали некоторые важные теоремы теории.Изучаемый ими предмет был популяризован Серретом, который посвятил теории секцию из своей книги по алгебре, Жорданом, чей труд «Действия над подстановками» (Traité des Substitutions ) стал классикой, и Евгением Нетто (1882 г.), чей труд был в 1892 г. переведён на английский язык Коулом. Большой вклад в развитие теории групп внесли также многие другие математики XIX века: Бертран, Эрмит, Фробениус, Кронекер и Матьё.

Современное определение понятия «группа» было дано только в 1882 г. Вальтером фон Дюком.

В 1884 г. Софус Ли положил начало изучению как групп преобразований того, что мы сейчас называем группами Ли и их дискретными подгруппами; за его трудами последовали работы Киллинга, Штуди, Шура, Маурера и Эли Картана. Теория дискретных групп была разработана Клейном, Ли, Пуанкаре и Пикаром в связи с изучением модулярных форм и других объектов.

В середине XX века (в основном, между 1955 и 1983 гг.) была проведена огромная работа по классификации всех конечных простых групп, включающая десятки тысяч страниц статей.

Ощутимый вклад в теорию групп внесли и многие другие математики, такие как Артин, Эмми Нётер, Людвиг Силов и другие.

Краткое описание теории

Понятие группы возникло в результате формального описания симметрии и эквивалентности геометрических объектов. В эрлангенской программе Феликса Клейна изучение геометрии было связано с изучением соответствующих групп преобразований. Например, если заданы фигуры на плоскости, то группой движений выясняется их равенство.

Определение . Группой называется множество элементов (конечное или бесконечное), на котором задана операция умножения , которая удовлетворяет следующим четырём аксиомам:

Замкнутость группы относительно операции умножения. Для любых двух элементов группы существует третий, который является их Граф свободной группы порядка 2 произведением:

Ассоциативность операции умножения . Порядок выполнения умножения несущественен:

Существование единичного элемента . В группе существует некоторый элемент E , произведение которого с любым элементом A группы даёт тот же самый элемент A :

Теория групп

Существование обратного элемента . Для любого элемента A группы существует такой элемент A −1 , что их произведение даёт единичный элемент E :

Аксиомы группы никак не регламентируют зависимость операции умножения от порядка сомножителей. Поэтому, вообще говоря, изменение порядка сомножителей влияет на произведение. Группы, для которых произведение не зависит от порядка сомножителей, называют коммутативными или абелевыми группами. Для абелевой группы

Абелевы группы довольно редко встречаются в физических приложениях. Чаще всего группы, имеющие физический смысл, являются неабелевыми :

Конечные группы небольшого размера удобно описывать при помощи т. н. «таблицы умножения». В этой таблице каждая строка и каждый столбец соответствует одному элементу группы, а в ячейку на пересечении строки и столбца помещается результат операции умножения для соответствующих элементов.

Ниже приведён пример таблицы умножения (таблицы Кэли) для группы состоящей из четырёх элементов: (1, −1, i, −i) в которой операцией является обычное арифметическое умножение:

Единичным элементом здесь является 1, обратными элементами для 1 и −1 являются они сами, а элементы i и −i являются обратными друг для друга.

Если группа имеет бесконечное число элементов, то она называется бесконечной группой.

Когда элементы группы непрерывно зависят от каких-либо параметров, то группа называется непрерывной, или группой Ли. Также говорят, что группа Ли - это группа, множество элементов которой образует гладкое многообразие. С помощью групп Ли как групп симметрий находятся решения дифференциальных уравнений.

Группы повсеместно используются в математике и естественных науках, часто для обнаружения внутренней симметрии объектов (группы автоморфизмов). Внутренняя симметрия обычно связана с инвариантными свойствами; множество преобразований, которые сохраняют это свойство, вместе с операцией композиции, образуют группу, называемую группой симметрии.

В теории Галуа, которая и дала начало понятию группы, группы используются для описания симметрии уравнений, корнями которых являются корни некоторого полиномиального уравнения. Из-за важной роли, которую они играют в этой теории, получили своё название разрешимые группы.

В алгебраической топологии группы используются для описания инвариантов топологических пространств . Под инвариантами здесь имеются в виду свойства пространства, не меняющиеся при каком-то его деформировании. Примеры такого использования групп - фундаментальные группы, группы гомологий и когомологий.

Группы Ли применяются при изучении дифференциальных уравнений и многообразий; они сочетают в себе теорию групп и математический анализ. Область анализа, связанная с этими группами, называется гармоническим анализом.

Теория групп

В комбинаторике понятия группы подстановок и действия группы используются для упрощения подсчёта числа элементов в множестве; в частности, часто используется лемма Бёрнсайда.

Понимание теории групп также очень важно для физики и других естественных наук. В химии группы используются для классификации кристаллических решёток и симметрий молекул. В физике группы используются для описания симметрий, которым подчиняются физические законы. Особенно важны в физике представления групп, в частности, групп Ли, так как они часто указывают путь к «возможным» физическим теориям.

Группа называется циклической , если она порождена одним элементом a , то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na , где n - целое число). Математическое обозначение: .

Говорят, что группа действует на множестве , если задан гомоморфизм из группы

в группу всех перестановок множества . Для краткости часто записывают как или .

Примеры групп

Простейшей группой является группа с обычной арифметической операцией умножения, которая состоит из элемента 1. Элемент 1 является единичным элементом группы и обратным самому себе:

Следующий простой пример - группа с обычной арифметической операцией умножения, которая состоит из элементов (1, -1). Элемент 1 является единичным элементом группы, оба элемента группы обратны самим себе:

Группой относительно обычной арифметической операции умножения является множество, состоящее из четырёх элементов (1, -1, i, -i). Единичным элементом здесь является 1, обратными элементами для 1 и -1 являются они сами, а элементы i и -i являются обратными друг для друга.

Группой является два поворота пространства на 0° и 180° вокруг одной оси, если произведением двух

поворотов считать их последовательное выполнение. Эта группа обычно обозначается C 2 . Она изоморфна (то есть тождественна) приведённой выше группе с элементами 1 и -1. Поворот на угол 0°, поскольку он

является тождественным, обозначен в таблице буквой E.

Теория групп
			R 180
			R 180
	R 180	R 180

Группу вместе с тождественным преобразованием E образует операция инверсии I, которая меняет направление каждого вектора на обратное. Групповой операцией является последовательное выполнение двух инверсий. Эта группа обычно обозначается S 2 . Она изоморфна приведённой выше группе C2 .

По аналогии с группой C2 можно построить группу C 3 , состоящую из поворотов плоскости на углы 0°, 120° и 240°. Можно сказать, что группа C 3 является группой поворотов, переводящих правильный треугольник сам в себя.

Элементы группы C3

		R 120	R 240
		R 120	R 240
R 120	R 120	R 240
R 240	R 240		R 120

Если к группе C 3 прибавить отражения треугольника относительно трёх его осей симметрии (R1 , R2 , R3 ), то мы получим полную группу операций, которая переводит треугольник сам в себя. Эта группа называется

D3 .

Элементы группы D3

Группами перестановок корней занимались ранее других Лагранж и . Но бесспорна заслуга того, кто сформулировал существенные свойства понятий, применил их к решению новых и трудных задач. Это сделал французский математик Галуа для понятия группы. Только после его работ оно стало предметом изучения математиков.

Эварист Галуа (1811–1832) родился в городе Бур-ля-Рен. В 1823 году родители отправили Эвариста учиться в Королевский коллеж в Париже. Здесь он увлекся математикой и стал самостоятельно изучать сочинения Лежандра, Эйлера, Лагранжа, Гаусса.

Идеи Лагранжа целиком овладевают Галуа. Ему, как когда-то Абелю, кажется, что он нашел решение уравнения пятой степени. Он предпринимает безуспешную попытку поступить в Политехническую школу, но знаний работ Лежандра и Лагранжа оказалось недостаточно, и Галуа возвращается в коллеж.

Здесь ему впервые улыбается счастье - он встречает учителя, который смог оценить его гениальность. Ришар умел подниматься выше официальных программ, он был в курсе успехов наук и стремился расширить кругозор своих учеников. Отзывы Ришара о Эваристе просты: "Он работает лишь в высших областях математики".

И действительно, уже в семнадцать лет Галуа получает первые научные результаты. В 1829 году была опубликована его заметка "Доказательство одной теоремы о периодических непрерывных дробях". Тогда же Галуа представил в Парижскую академию наук другую работу. Она затерялась у Коши.

Галуа пытается вторично поступить в Политехническую школу, и вновь неудача. К этому вскоре добавилось событие, потрясшее юношу: затравленный политическими противниками, его отец покончил с собой. Обрушившиеся на Эвариста несчастья неизбежно повлияли на него: он стал нервным и вспыльчивым.

В 1829 году Галуа поступил в Нормальную школу. В ней готовились кандидаты на звание преподавателя. Здесь Эварист выполнил исследование по теории алгебраических уравнений и в 1830 году представил работу на конкурс Парижской академии наук Его судьба была в руках бессменного секретаря Академии - Фурье. Фурье начинает читать рукопись, но вскоре умирает. Вторая рукопись, как и первая, исчезает.

В жизни Галуа наступило время, заполненное важными событиями. Он примкнул к республиканцам, вступил в "Общество друзей народа" и записался в артиллерию Национальной гвардии. За выступление против руководства его исключили из Нормальной школы.

14 июля 1831 года, в ознаменование очередной годовщины взятия Бастилии, состоялась манифестация республиканцев. Полиция арестовала многих манифестантов, среди них был и Галуа. Суд над Галуа состоялся 23 октября 1831 года. Его осудили на 9 месяцев заключения. Галуа продолжал свои исследования и в тюрьме.

Утром 30 мая 1832 года на дуэли в местечке Жантийи Галуа был смертельно ранен пулей в живот. Через день он скончался.

Математические работы Галуа, по крайней мере, те, что сохранились, составляют шестьдесят небольших страниц. Никогда еще труды столь малого объема не доставляли автору такой широкой известности.

В 1832 году Галуа, сидя в тюрьме, составляет программу, которую опубликовали лишь спустя семьдесят лет после его смерти. Но и в начале двадцатого века она не вызвала серьезного интереса и скоро была забыта. Только математики нового времени, продолжившие работу многих поколений ученых, осуществили, наконец, мечту Галуа.

"Я умоляю моих судей по крайней мере прочесть эти несколько страниц", - так начал Галуа свой знаменитый мемуар. Однако идеи Галуа были настолько глубоки и всеобъемлющи, что в то время их действительно трудно было оценить какому бы то ни было ученому.

"...Итак, я полагаю, что упрощения, получаемые за счет усовершенствования вычислений (при этом, конечно, имеются в виду упрощения принципиальные, а не технические), вовсе не безграничны. Настанет момент, когда математики смогут настолько четко предвидеть алгебраические преобразования, что трата времени и бумаги на их аккуратное проведение перестанет окупаться. Я не утверждаю, что анализ не сможет достигнуть чего-нибудь нового и помимо такого предвидения, но думаю, что без него в один прекрасный день все средства окажутся тщетными.

Подчинить вычисления своей воле, сгруппировать математические операции, научиться их классифицировать по степени трудности, а не по внешним признакам, - вот задачи математиков будущего так, как я их понимаю, вот путь, по которому я хочу пойти.

Пусть только никто не смешивает проявленную мной горячность со стремлением некоторых математиков вообще избегнуть каких бы то ни было вычислений. Вместо алгебраических формул они используют длинные рассуждения и к громоздкости математических преобразований добавляют громоздкость словесного описания этих преобразований, пользуясь языком, не приспособленным для выполнения таких задач. Эти математики отстали на сто лет.

Здесь не происходит ничего подобного. Здесь я занимаюсь анализом анализа. При этом самые сложные из известных сейчас преобразований (эллиптические функции) рассматриваются всего лишь как частные случаи, весьма полезные и даже необходимые, но все же не общие, так что отказ от дальнейших более широких исследований был бы роковой ошибкой. Придет время, и преобразования, о которых идет речь в намеченном здесь высшем анализе, будут действительно производиться и будут классифицироваться по степени трудности, а не по виду возникающих здесь функций".

Здесь надо обязательно обратить внимание на слова "сгруппировать математические операции". Галуа, несомненно, подразумевает под этим теорию групп.

В первую очередь Галуа интересовали не отдельные математические задачи, а общие идеи, определяющие всю цепь соображений и направляющие логический ход мыслей. Его доказательства основываются на глубокой теории, позволяющей объединить все достигнутые к тому времени результаты и определить развитие науки надолго вперед. Через несколько десятков лет после смерти Галуа немецкий математик Давид Гильберт назвал эту теорию "установлением определенного остова понятий". Но какое бы название за ней не укрепилось, очевидно, что она охватывает очень большую область знаний.

"В математике, как в любой другой науке, - писал Галуа, - есть вопросы, требующие решения именно в данный момент. Это те насущные проблемы, которые захватывают умы передовых мыслителей независимо от их собственной воли и сознания".

Одна из проблем, над которой работал Эварист Галуа, - решение алгебраических уравнений. Что будет, если рассматривать лишь уравнения с числовыми коэффициентами? Ведь может же случиться, что хотя общей формулы для решения таких уравнений нет, корни каждого отдельного уравнения можно выразить в радикалах. А если это не так? Тогда должен быть какой-то признак, позволяющий определить, решается данное уравнение в радикалах или нет? Что же это за признак?

Первое из открытий Галуа состояло в том, что он уменьшил степень неопределенности их значений, т. е. установил некоторые из "свойств" этих корней. Второе открытие связано с методом, использованным Галуа для получения этого результата. Вместо того чтобы изучать само уравнение, Галуа изучал его "группу", или, образно говоря, его "семью".

"Группа, - пишет А. Дальма, - это совокупность предметов, имеющих определенные общие свойства. Пусть, например, в качестве таких предметов взяты действительные числа. Общее свойство группы действительных чисел состоит в том, что при умножении любых двух элементов этой группы мы получаем также действительное число. Вместо действительных чисел в качестве "предметов" могут фигурировать изучаемые в геометрии движения на плоскости; в таком случае свойство группы заключается в том, что сумма любых двух движений дает снова движение. Переходя от простых примеров к более сложным, можно в качестве "предметов" выбрать некоторые операции над предметами. В таком случае основным свойством группы будет то, что композиция любых двух операций также является операцией. Именно этот случай и изучал Галуа. Рассматривая уравнение, которое требовалось решить, он связывал с ним некоторую группу операций (к сожалению, мы не имеем возможности уточнить здесь, как это делается) и доказывал, что свойства уравнения отражаются на особенностях данной группы. Поскольку различные уравнения могут иметь одну и ту же группу, достаточно вместо этих уравнений рассмотреть соответствующую им группу. Это открытие ознаменовало начало современного этапа развития математики.

Из каких бы "предметов" ни состояла группа: из чисел, движений или операций, - все они могут рассматриваться как абстрактные элементы, не обладающие никакими специфическими признаками. Для того чтобы определить группу, надо только сформулировать общие правила, которые должны выполняться для того, чтобы данную совокупность "предметов" можно было назвать группой. В настоящее время математики называют такие правила групповыми аксиомами, теория групп состоит в перечислении всех логических следствий из этих аксиом. При этом последовательно обнаруживаются все новые и новые свойства; доказывая их, математик все более и более углубляет теорию. Существенно, что ни сами предметы, ни операции над ними никак не конкретизируются. Если после этого при изучении какой-нибудь частной задачи приходится рассмотреть некоторые специальные математические или физические объекты, образующие группу, то, исходя из общей теории, можно предвидеть их свойства. Теория групп, таким образом, дает ощутимую экономию в средствах; кроме того, она открывает новые возможности применения математики в исследовательской работе".

Введение понятия группы избавило математиков от обременительной обязанности рассматривать множество различных теорий. Оказалось, что нужно лишь выделить "основные черты" той или иной теории, и так как, по сути дела, все они совершенно аналогичны, то достаточно обозначить их одним и тем же словом, и сразу становится ясно, что бессмысленно изучать их по отдельности.

Галуа стремится внести в разросшийся математический аппарат новое единство. Теория групп - это, прежде всего, наведение порядка в математическом языке.

Теория групп, начиная с конца XIX века, оказала огромное влияние на развитие математического анализа, геометрии, механики и, наконец, физики. Оно впоследствии проникло в другие области математики - появились группы Ли в теории дифференциальных уравнений, группы Клейна в геометрии. Возникли также группы Галилея в механике и группы в теории относительности.

Алексей Савватеев о курсе лекций:

Приглашаю вас на свой миникурс по теории групп, который я назвал "Школьная теория групп".

Я считаю, что теорию групп нужно изучать в средних классах - примерно тогда же, когда вводится символьное обозначение (буквы x,y,z и т.п.) Потому что ступень абстракции, ведущая к общему понятию группы от систем остатков по данному модулю (с одной стороны) и перестановок (с другой), не выше, чем ступень абстракции от чисел 3,4,5 к символам. Перестановки же легко понять и освоить уже во втором-третьем классе, точно так же, как и системы остатков по данному модулю.

В миникурсе я ликвидирую пробелы школьного образования, относящиеся к теории групп и к конкретным примерам групп. Будут установлены базовые факты про вычеты, доказана малая теорема Ферма, исследованы подгруппы групп перестановок на трёх и четырёх символах, введено понятие нормальной подгруппы данной группы и простоты группы.

Затем будет доказано, что группа чётных перестановок на n≥5 символах - простая (что откроет желающим дорогу к вопросам о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах), а также что подгруппа переносов плоскости (пространства) - нормальная в группе всех (аффинных) движений соответствующего объекта. Маломерные группы движений получат полную характеризацию (теорема Шаля и законы композиции движений разных видов).

Алексей Владимирович Савватеев - доктор физико-математических наук, специалист в области теории игр, ректор Университета Дмитрия Пожарского, популяризатор математики среди детей и взрослых. Работает одновременно в нескольких научных учреждениях, в том числе в Лаборатории исследования социальных отношений и многообразия общества РЭШ. Читает в Яндексе лекции в Школе Анализа Данных, участвует в теоретических исследованиях. В Иркутске на 0.2 ставки работает доцентом ИГУ.

Комментарии: 0

Алексей Савватеев

Геометрия - классическая Евклидова, Лобачевского, проективная и сферическая - не получает достаточного внимания в программах современных мат.факультетов (не говоря уже о школах). В то же время она наглядна и на редкость красива. Многие утверждения визуально очевидны и в то же время неожиданные (почему самолёт, летящий из Иркутска в Лиссабон, стартует сперва в направлении Норильска?) За 8 лекций слушатели ознакомятся с начальными сведениями в этой области математики, берущей своё начало более двух тысячелетий назад. Закончим мы гораздо более сложным материалом, непосредственно выводящим на современные разделы науки. Будут затронуты основы теории групп и алгебр Ли.

Алексей Савватеев

Теория Галуа - раздел алгебры, позволяющий переформулировать определенные вопросы теории полей на языке теории групп, делая их в некотором смысле более простыми. Теория Галуа даёт единый элегантный подход к решению классических задач: какие фигуры можно построить циркулем и линейкой? какие алгебраические уравнения разрешимы с помощью стандартных алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня)?

Алексей Савватеев

Алексей Савватеев, Алексей Семихатов

Вопрос науки

Зачем математики придумывают всё новые неразрешимые задачи? Зачем нужна современная математика? Среди ученых нет ни одного, кто разбирался бы во всех областях современных математических наук. А математики придумывают все новые и новые неразрешимые задачи, и потом десятилетиями бьются над ними. Зачем все это? И какое отношение математика имеет к нашей жизни? Гость программы доктор физико-математических наук Алексей Савватеев. Беседует Алексей Семихатов.

Александр Буфетов

Анатолий Вершик

Лишь недавно, и, как всегда одновременно и независимо, нескольким группам математиков понадобилось по разным поводам систематически изучать случайно выбранные подгруппы данной группы. Для докладчика этим поводом стала задача: найти инвариантные относительно сопряжения меры на решетке всех подгрупп данной группы. Эта задача важна для теории представлений (фактор-представления некоторых групп), и для самой теории динамических систем (вполне несвободные действия). Другие поводы - асимптотика чисел Бетти на локально симметрических пространствах, действия групп на деревьях, теория блужданий на случайных однородных пространствах и, по-видимому, это не всё. Доклад будет посвящен общим понятиям, разбору фундаментального примера, а именно, - что такое случайная подгруппа симметрической группы - конечной и бесконечной, и, наконец, объяснению того, как все это связано с теорией характеров.

Евгений Смирнов

Группы отражений являются дискретной группой движений пространства постоянной кривизны (сфера, евклидово или гиперболическое пространство), которая порождается множеством отражений. Группы отражений появляются удивительно часто в различных алгебраических задач.

Иван Аржанцев

В этом курсе изучается такой замечательный и вполне элементарный объект, как конечномерные коммутативные ассоциативные алгебры над комплексными числами. Здесь достаточно легко доказать первые структурные результаты, но получить полную классификацию едва ли возможно. Мы обсудим различные техники работы с конечномерными алгебрами (максимальные идеалы и локальные алгебры, фильтрации и градуировки, последовательность Гильберта-Самюэля и цоколь) и получим явное описание алгебр малых размерностей. Оказывается, конечномерные алгебры тесно связаны с действиями с открытой орбитой коммутативных групп матриц на аффинных и проективных пространствах. Мы объясним эту связь. В процессе объяснения естественно возникнут такие понятия как экспонента линейного оператора, представление группы и циклический модуль, алгебра Ли и ее универсальная обертывающая.

Михаил Тёмкин

Приставляя тетраэдры друг к другу по граням можно получать примеры симплициальных комплексов - важного математического объекта. Раскрасим треугольники такого сооружения в чёрный и белый цвета и назовём раскраску хорошей, если каждый тетраэдр имеет поровну чёрных и белых граней. Оказывается, что в случае (стандартно симплициально разбитых) маломерных сфер множество белых треугольников оказывается объектом, достойным изучения: листом Мёбиуса или проективной плоскостью. При описании того, как именно эти объекты разбиты на треугольники у нас естественным образом возникнет икосаэдр - замечательный правильный многогранник. Исследование группы его самосовмещений позволит понять, сколько существует хороших раскрасок. По пути нам встретятся такие важные базовые понятия математики, как вышеупомянутые симплициальный комплекс и группа симметрий, действие и пр.

Иван Лосев

В лекциях вводятся основные сведения из теории представлений конечных групп, объясняется подход Вершика и Окунькова к представлениям симметрических групп, рассказывается о том, что происходит в положительной характеристике и при чем тут алгебры Ли. Курс должен быть понятен студентам, начиная с первого курса, хорошо освоившим курс алгебры.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП

Курс лекций

Красноярск, 2007

Сенашов, В. И.

Основы теории групп: курс лекций / , . – Красноярск: ФГОУ ВПО “Сибирский федеральный университет, Институт естественных и гуманитарных наук”, 20с.

Дисциплина "Основы теории групп" является продолжением дисциплины "Высшая алгебра" и представляет собой одну из основных специальных дисциплин при подготовке студентов по специальности «Математика». Курс лекций предназначен студентам и аспирантам, специализирующимся на кафедре алгебры и математической логики.

© Красноярский Институт естественных и

гуманитарных наук, 2007.

РАЗДЕЛ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ………………………………….. 5

Тема 1. ВВЕДЕНИЕ …………………………………………… 5

Исторические сведения о появлении и развитии теории групп.

Цели и задачи изучения. Краткая характеристика современного

состояния теории групп. Обзор литературы. Общие сведения.

Тема 2. Группы, подгруппы …………………………………… 7

Определение группы, примеры. Определение подгруппы,

примеры подгрупп.

РАЗДЕЛ 2. КЛАССЫ ГРУПП, ВИДЫ ЗАДАНИЯ ГРУПП ………. 9

Тема 3 . Классы групп, примеры ……………………………... 9

Конечные и бесконечные группы, периодические группы,

группы без кручения, смешанные группы, примеры.

Тема 4. Порождающие множества. Циклические группы, подгруппы циклической группы …………………………………. 11

Задание групп порождающими множествами. Примеры циклических, 2-порожденных и 3-порожденных групп.

РАЗДЕЛ 3. СТРУКТУРА ГРУППЫ ………………………………... 12

Тема 5. С межные классы ……………………………………….. 12

Свойства смежных классов. Индекс подгруппы, теорема Лагран-

жа, следствия.

Тема 6. Классы сопряженных элементов. Нормализатор и централизатор ………………………………………………………… 13

Определение и свойства классов сопряженных элементов, при-

меры. Определение централизатора, нормализатора, теорема о мощности классов сопряженных элементов.

Тема 7. Центр, коммутант. Фактор-группа …………………… 14

Определения центра, коммутанта. Примеры.

Тема 8 . Полные группы ………………………………………… 16

Полные группы, примеры. Теоремы о полных группах.

РАЗДЕЛ 4. ОТОБРАЖЕНИЯ ГРУПП ………………………………. 17

Тема 9. Группы подстановок ………………………………….

Определения и свойства групп подстановок. Теорема Кэли.

Тема 10. Гомоморфизмы ………………………………………... 18

Определение гомоморфизма, примеры гомоморфных отображе-

ний, теоремы о гомоморфизмах.

Тема 11. Изоморфизмы ………………………………………… 20

Определение изоморфизма, примеры изоморфных групп.

Тема 12. Автоморфизмы ………………………………………. 21

Определение автоморфизма. Виды автоморфизмов, голоморф.

РАЗДЕЛ 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП …………………………… 24

Тема 13. Прямые и декартовые произведения ……………… 24

Определения. Примеры групп, разложимых в прямые и

декартовы произведения.

Тема 14. Полупрямое произведение, свободное

произведение и другие виды произведений …………………. 27

Полупрямое произведение, свободное произведение, свободное произведение с объединенной подгруппой, равномерное произведение.

Тема 15. Ряды в группах ……………………………………….. 31

Нормальный ряд, субнормальный ряд. Виды групп, обладающих рядами.

Тема 16. Теорема Силова …………………………………….. 32

Силовские подгруппы. Теорема Силова. Применения теоремы Силова.

Тема 17. Алгебраические системы …………………………… 33

Примеры алгебраических систем. Группоид, полугруппа, квазигруппа, лупа, группа, кольцо, поле.

РАЗДЕЛ 6. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ В ГРУППАХ …………… 35

Тема 18. Группы с условиями минимальности и

максимальности …………………………………………………. 35

Группы с условиями минимальности и максимальности. Черни-ковские группы и их свойства.

Тема 19. Условия конечности ………………………………… 38

Условия бипримитивной конечности, сопряжено бипримитивной

конечности, их ослабления и обобщения. Группы Шункова. При-меры.

РАЗДЕЛ 7. ПРИМЕРЫ ГРУПП ……………………………………. 40

Тема 20. Группы диэдра ………………………………………. 40

Определения и свойства групп диэдра.

Тема 21. Группы подстановок и матриц …………………… 43

Группы подстановок и матриц. Представление группы диэдра

группой подстановок.

Тема 22. Группы движений ………………………………….. 48

Геометрические преобразования. Движения. Симметрии фигур.

Группы симметрий правильных многогранников. Конечные и бес - конечные группы симметрий пространственных и плоских фигур.

РАЗДЕЛ 8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………... 54

Тема 23. Атласы групп ………………………………………… 5 4

Таблицы групп. Атласы конечных простых групп и представле-

ний конечных групп.

Тема 24. Заключение ………………………………………….. 5 6

Обзор современного состояния теории групп.

Дополнение ……………………………………………………………. 57

Тема 25. Группы Фробениуса ……………………………….. 57

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ……………………………… 62

РАЗДЕЛ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Тема 1. ВВЕДЕНИЕ

Исторические сведения о появлении и развитии теории групп. Понятие группы возникло в 18 в., оно исходит из нескольких дисциплин: теории решения алгебраических уравнений в радикалах (в трудах Ж. Лагранжа и А. Вандермонда в 1771 г. впервые для нужд этой теории были применены подстановки и было получено разложение группы подстановок на смежные классы, в 19 в. глубокие связи между свойствами группы подстановок и свойствами уравнений были указаны Н. Абелем в 1824 г. и Э. Галуа в 1830 г. Особенно нужно отметить достижения Э. Галуа в теории групп. Он открыл роль нормальных подгрупп в решении задачи о разрешимости уравнений в радикалах, установил простоту знакопеременных групп степени выше четырех. К. Жордан систематизировал и развил исследования в этом направлении в трактате о группе подстановок в 1870 г.). В проективной геометрии независимо от этого группы возникают, когда изучается поведение фигур при различных преобразованиях, что перешло на изучение самих преобразований и поиск их классификации (здесь можно назвать имена А. Мебиуса, исследовавшего элементарные виды родства геометрических фигур, А. Кэли, пришедшего к пониманию группы как системы, заданной порождающими элементами и соотношениями, Ф. Клейна – создателя в 1872 г. «Эрлангенской программы», положившей в основу классификации геометрий понятие группы преобразований). Теоретико-групповые идеи прослеживаются и в теории чисел. Л. Эйлер в 1761 г. при изучении «вычетов, остающихся при делении степеней» пользовался сравнениями и разбиениями на классы вычетов, т. е. на смежные классы по подгруппе. К. Гаусс в 1801 г. в «Арифметических исследованиях» определил подгруппы группы Галуа уравнения деления круга и при изучении «композиции двоичных квадратичных форм» доказал, что классы эквивалентных форм образуют относительно композиции конечную абелеву группу.

В конце 19 в. выработалось современное абстрактное понятие группы. В 1895 г. С. Ли уже определял группу как совокупность преобразований, замкнутую относительно операции, которая ассоциативна и гарантирует единицу и обратные элементы.

Изучение групп без предположения их конечности и без предположений о природе элементов оформилось в самостоятельную область математики в 1916 г. в книге «Абстрактная теория групп» нашего соотечественника.

В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные приложения как в самой математике, так и за ее пределами - в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания.

В данном курсе лекций коротко напомним основные определения и теоремы теории групп, которые входят в курс алгебры университета. Затем введем слушателя в область современной теории групп через изложение результатов последних десятилетий. Особенно подробно остановимся на примерах групп и группах с условиями конечности.

Цели и задачи изучения. Дисциплина «Основы теории групп» является продолжением курса «Высшая алгебра» и представляет собой одну из основных специальных дисциплин при подготовке студентов по специальности «Математика».

Целью преподавания дисциплины является ознакомление с основными определениями и базовыми теоремами теории групп, а также формирование умений и навыков применения изученных теорем в доказательствах новых теорем и для построения примеров групп.

В процессе изучения дисциплины необходимо приобрести знания, умения и навыки для профессиональной деятельности в качестве исследователя и преподавателя по специальности «Математика».

Специалист должен знать: основные классы групп, классические примеры конечных и бесконечных групп, базовые теоремы теории групп; уметь: применять изученные теоремы в доказательствах новых теорем, использовать специальную литературу, справочники, математические энциклопедии, приобрести практические навыки самостоятельной работы при изучении групповых конструкций, иметь представление о современных тенденциях развития теории групп в России и в мире.

При написании курса лекций авторы ставили целью кратко познакомить читателя с понятиями и теоремами классического курса теории групп и по возможности подробно остановиться на понятиях, которые сформированы в Красноярской школе по теории групп и активно изучаются в настоящее время как у нас в стране, так и за рубежом.

Краткая характеристика современного состояния теории групп. В настоящее время теория групп представляет собой хорошо развитую область математики. Каждый год проходят международные конференции, посвященные теории конечных и бесконечных групп. Только в России в 2007 г. прошло несколько международных конференций по теории групп, одна из них – в Красноярске.

Хорошо развитые школы, занимающиеся теорией групп, имеются в Москве, Санкт-Петербурге, Екатеринбурге, Новосибирске, Омске, Томске, Иркутске, Челябинске, Красноярске и других городах России. Сотни специалистов высшей квалификации занимаются различными разделами теории групп. В России регулярно выходят журналы «Алгебра и логика», «Сибирский математический журнал», «Фундаментальная и прикладная математика», «Дискретная математика», «Доклады академии наук», в которых большую долю занимают статьи по теории групп. Российскими учеными написаны десятки монографий по конечным и бесконечным группам. Достижения российских специалистов по теории групп давно и заслуженно признаны во всем мире.

Обзор литературы. При изучении дисциплины «Основы теории групп» рекомендуем пользоваться учебниками и предлагаемым списком литературы.

Тема 2. Группы, подгруппы

Определение группы, примеры.

Определение. Говорят, что на множестве задана бинарная операция , если определен закон, ставящий в соответствие любым двум элементам множества единственный элемент этого же множества.

Определение. Множество G с заданной на нём бинарной алгебраической операцией называется группой , если:

1) эта операция ассоциативна, т. е. (ab)c = a(bc) для любых элементов a, b, c из G ;

2) в G существует единичный элемент e : ae = ea = a для любого элемента a из G ;

3) для каждого элемента a из G в G существует обратный элемент https://pandia.ru/text/78/123/images/image002_125.gif" width="99" height="21 src=">.

Все четные числа по сложению образуют группу. Группой по сложению является также совокупность целых чисел, кратных данному числу n . Множество нечетных чисел уже не будет группой по операции сложения, т. к. данная операция выводит нас за пределы данного множества. Образуют группу также все ненулевые положительные рациональные числа относительно операции умножения. Числа 1 и -1 при операции умножения составляют конечную группу.

Определение. Группа G называется абелевой или коммутативной , если все элементы группы перестановочны между собой, т. е. выполняется коммутативный закон ab = ba для любых элементов a, b из группы G.

Примерами абелевых групп могут служить множества рациональных чисел, действительных чисел, комплексных чисел, рассматриваемых относительно операции сложения. К неабелевым группам относятся группы подстановок больше чем на двух элементах, группы матриц относительно умножения.

Определение. Порядком элемента называется наименьшее натуральное число n такое, что an = e . Обозначается |a |.

Определение. Порядком группы G называется количество ее элементов.

Обозначается порядок группы G через |G |. В случае, если множество элементов бесконечно, говорят, что G имеет бесконечный порядок, и пишут |G | = https://pandia.ru/text/78/123/images/image004_81.gif" width="95" height="29"> | ai M, mi = 1, n = 1, 2, 3, … }.

Доказательство. Обозначим множество элементов, введенных в формулировку теоремы, через H .

Очевидно, HH H , H -1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image007_53.gif" width="16" height="16 src=">H .

С другой стороны, <M > https://pandia.ru/text/78/123/images/image010_47.gif" width="13" height="13 src="> H }. Элемент x называется представителем смежного класса. Правый смежный класс определяется аналогично.

Свойства смежных классов:

1) смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают;

2) смежные классы равномощны;

3) элементы a , b содержатся в одном смежном классе по подгруппе H , если b -1 a H .

Доказательство свойств предоставляется читателю.

Определение. Количество смежных классов группы G по подгруппе H называется индексом группы G по подгруппе H и обозначается |G: H |.

Лемма Неймана. Пусть G – группа, являющаяся объединением конечного числа смежных классов по конечному множеству подгрупп. Тогда хотя бы одна из этих подгрупп имеет конечный индекс в G.

Доказательство. Предположим, что теорема неверна и каждая из подгрупп H 1 ,…, Hn имеет бесконечный индекс в G . Пусть имеется разложение на смежные классы, указанное в формулировке теоремы:

G = g 11H 1 .gif" width="16" height="20 src=">.gif" width="16 height=20" height="20"> g 21H 2 … H 2 …

….gif" width="16" height="20">… .gif" width="16" height="20">… H 1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image016_28.gif" width="36" height="28 src=">H 1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image016_28.gif" width="36" height="28 src=">H 1 g 21H 2 … .gif" width="16 height=20" height="20">….gif" width="16" height="20">… https://pandia.ru/text/78/123/images/image018_24.gif" width="20 height=19" height="19">.

Очевидно, множество является объединением конечного числа смежных классов по подгруппам H 2, …, Hn и содержит g 11H 1, аналогично

g 11H 1 .gif" width="16" height="20 src=">.gif" width="19" height="17">.gif" width="24" height="16">gh , h hg , h https://pandia.ru/text/78/123/images/image024_20.gif" width="15" height="15 src=">G ), если левые и правые смежные классы в G по H совпадают.

Другие свойства смежных классов см. в .

Тема 6. Классы сопряженных элементов. Нормализатор и централизатор

Определение и свойства классов сопряженных элементов, примеры. Элемент a сопряжен с элементом b в группе G , если найдется такой x из G, что = b .

Кроме того, обозначение = ax переносится на множества: AB = {ab | a A , b B }. В этих обозначениях определение нормальной подгруппы выглядит следующим образом: H G тогда и только тогда, когда HGH .

Теорема 6.1. Порядки сопряженных элементов равны.

Доказательство. Пусть = b. Предположим, что |a | = n , |b | = m и n < m . Тогда ()n = an = e , но bne . Полученное противоречие доказывает теорему.

Сопряжение – отношение эквивалентности. (То есть для сопряжения выполняются три свойства: рефлексивность, симметричность и транзитивность.) Вся группа разбивается на непересекающиеся классы сопряженных элементов aG . Во всех числовых системах и абелевых группах классы сопряженных элементов состоят из одного элемента. Вообще, различные классы могут иметь разные мощности. Инструментом измерения мощности класса служит нормализатор.

Примерами групп, в которых каждый класс сопряженных элементов состоит из одного элемента, являются все абелевы группы. В группе подстановок третьей степени три класса сопряженных элементов: класс, состоящий из единичного элемента, класс, состоящий из двух элементов третьего порядка, и класс, состоящий из трех сопряженных инволюций.

Определение централизатора, нормализатора, теорема о мощности классов сопряженных элементов.

Определение. Пусть M - произвольное подмножество группы G , H - ее подгруппа. Нормализатором множества M в группе G называется множество NH (M ) = { h | hM = Mh , h H }.

Определение. Централизатором множества M в группе G называется множество CG(M)= { g|gm=mg, m M }.

В абелевых группах централизатор любого элемента совпадает со всей группой. В группе подстановок третьей степени централизаторы всех элементов совпадают с циклическими группами, порожденными этими элементами.

Теорема 6.2. Если M - подмножество, а H - подгруппа группы G , то мощность класса подмножеств, сопряженных с M элементами из H равна индексу |H : NH (M ) |. В частности, |aG | = |G : NG (a ) |.

Доказательство. Отобразим Mx , xH , на правые смежные классы H по N = NH (M ): (Mx )= Nx . Отображение однозначно: из Mx = M н вытекает Nx = Ny . Оно взаимнооднозначно т. к. Nx = Ny влечет Mx = M н . Это отображение «на», т. к. у любого класса Nx есть прообраз Mx . Теорема доказана.

Тема 7. Центр, коммутант. Фактор-группа

Определения центра, коммутанта. Примеры. Строение группы во многом определяется перестановочностью ее элементов. Множество элементов группы, которые перестановочны со всеми ее элементами является подгруппой.

Определение. Центром группы G называется множество Z(G)=CG(G) .

Упражнение. Группа G абелева тогда и только тогда, когда Z(G)= G.

Определение. Элементы a , b группы G перестановочны (коммутируют), когда

a -1 b -1 ab = e .

Абелевы группы совпадают со своим центром. В группе подстановок третьей степени центр является единичным.

Определение. Коммутатором [a , b ] элементов a , b называется произведение

[a , b ] = a -1 b -1 ab .

Определение. Подгруппа, порожденная всеми коммутаторами, называется коммутантом группы.

Коммутант - инструмент, измеряющий отклонение группы от коммутативности.

Определение. Если L , M - подмножества группы, то их взаимным коммутантом называют подгруппу

[L , M ] = < [a , b ] | a L , b M >.

Примеры.

1. [ Sn , Sn ] = An , для любого n .

2. [ An, An ] = An, n > 4 .

3. [G , G ] = 1, если G абелева.

Упражнения.

1. Доказать [a , b ]-1= [b , a ].

2. Доказать [ab , c ] = [a , c ]b[b , c ].